Восстановление пропущенных компонент данных

Главные компоненты оказываются удобным инструментом и для восстановления пропусков во входных данных. Действительно, метод главных компонент дает наилучшее линейное приближение входных данных меньшим числом компонент:

(Здесь мы, как и прежде, для учета постоянного члена включаем фиктивную нулевую компоненту входов, всегда равную единице - см. рисунок 7.5, где справа показана нейросетевая интерпретация метода главных компонент. Таким образом, - это матрица размерности

). Восстановленные по главным компонентам данные из обучающей выборки

имеют наименьшее среднеквадратичное отклонение от своих прототипов

. Иными словами, при отсутствии у входного вектора

компонент, наиболее вероятное положение этого вектора - на гиперплоскости первых

главных компонент. Таким образом, для восстановленного вектора имеем:

, причем для известных компонент

Пусть, например, у вектора

неизвестна всего одна,

-я координата. Ее значение находится из оставшихся по формуле:

где в числителе учитываются лишь известные компоненты входного вектора

В общем случае восстановить неизвестные компоненты (с индексами из множества

) можно с помощью следующей итеративной процедуры (см. рисунок 7.6):

Рис. 7.6. Восстановление пропущенных значения с помощью главных компонент. Пунктир - возможные значения исходного вектора с неизвестными координатами. Наиболее вероятное его значение - на пересечении с первыми главными компонентами

Содержание раздела