Нейрокомпьютинг и его применения в экономике и бизнесе

         

Адаптация функций принадлежности


В лекции, посвященной извлечению знаний из обученных нейронных сетей, мы познакомились с методами интерпретации отображения сетью входной информации в выходную с помощью правил типа неравенств, правил m-of-n и других. В теория нечетких множеств соответствующие нечеткие правила уже изначально имеют наглядный смысл. Например,

Адаптация функций принадлежности
если разрыв между бедными и богатыми высок, то уровень преступности повышен.

Конечно заманчиво иметь возможность получения не только качественного, но и количественного правила, связывающего уровень разрыва в доходах с преступностью. Мы знаем, что нейронные сети типа персептрона являются универсальными аппроксиматорами и могут реализовать любое количественное отображение. Хорошо бы поэтому построить нейронную сеть так, чтобы она, во-первых, воспроизводила указанное нечеткое качественное правило (чтобы изначально знать интерпретацию работы сети) и, во-вторых, давала хорошие количественные предсказания для соответствующего параметра (уровня преступности). Очевидно, что добиться этого можно подбором соответствующих функций принадлежности. А именно, задача состоит в том, чтобы так определить понятия "высокий разрыв в доходах" и "повышенный уровень преступности", чтобы выполнялись и качественные и количественные соотношения. Нужно, чтобы и сами эти определения не оказалось дикими - иначе придется усомниться в используемом нами нечетком правиле. Если такая задача успешно решается, то это означает успешный симбиоз теории нечетких множеств и нейронных сетей, в которых "играют" наглядность первых и универсальность последних.

Заметим, что использованные нами ранее функции принадлежности носили достаточно специфический характер (так называемую треугольную форму). Успех же сочетания нечетких моделей существенно зависит от разумного нечеткого разбиения пространств входов и выходов. Вследствие этого, задача адаптации функций принадлежности может быть поставлена как задача оптимизации, для решения которой и могут использоваться нейронные сети.
Наиболее простой путь для этого заключается в выборе некоторого вида функции принадлежности, форма которой управляется рядом параметров, точное значение которых находится при обучении нейронной сети.

Рассмотрим соответствующую методику на следующем примере.Обозначим

Адаптация функций принадлежности
- курс доллара США ($) по отношению к немецкой марке (DM);
Адаптация функций принадлежности
- курс доллара США ($) по отношению к шведской кроне (SK);
Адаптация функций принадлежности
- курс доллара США ($) по отношению к финской марке (FM); Предположим, что мы имеем три нечетких правила

Адаптация функций принадлежности
если $ слаб по отношению к DM и слаб по отношению к SK и слаб по отношению к FM, то величина портфеля очень высока

Адаптация функций принадлежности
если $ силен по отношению к DM и силен по отношению к SK и слаб по отношению к FM, то величина портфеля высока

Адаптация функций принадлежности
если $ силен по отношению к DM и силен по отношению к SK и силен по отношению к FM, то величина портфеля мала

Формально, эти правила можно записать следующим образом
Адаптация функций принадлежности
если
Адаптация функций принадлежности
есть
Адаптация функций принадлежности
и
Адаптация функций принадлежности
есть
Адаптация функций принадлежности
и
Адаптация функций принадлежности
есть
Адаптация функций принадлежности
,то PV есть VB
Адаптация функций принадлежности
если
Адаптация функций принадлежности
есть
Адаптация функций принадлежности
и
Адаптация функций принадлежности
есть
Адаптация функций принадлежности
и
Адаптация функций принадлежности
есть
Адаптация функций принадлежности
,то PV есть B
Адаптация функций принадлежности
если
Адаптация функций принадлежности
есть
Адаптация функций принадлежности
и
Адаптация функций принадлежности
есть
Адаптация функций принадлежности
и
Адаптация функций принадлежности
есть
Адаптация функций принадлежности
,то PV есть S Для всех нечетких правил
Адаптация функций принадлежности
и
Адаптация функций принадлежности
используем сигмоидные функции принадлежности
Адаптация функций принадлежности


Адаптация функций принадлежности


Адаптация функций принадлежности


Для нечетких оценок величины портфеля вводятся следующие функции принадлежности

Адаптация функций принадлежности


Адаптация функций принадлежности


Адаптация функций принадлежности


Адаптация функций принадлежности


Адаптация функций принадлежности



Предположим, что точные количественные значения курса доллара по отношению к немецкой марке, шведской кроне и финской марке равны
Адаптация функций принадлежности
, соответственно. Поскольку любые значения этих курсов являются в какой-то мере слабыми и в какой-то мере сильными (а соответствующие меры определяются функциями принадлежности), то все три правила вступают в игру. В этом случае можно определить уровень активация каждого из них:
Адаптация функций принадлежности


Адаптация функций принадлежности


Адаптация функций принадлежности


Теперь можно вычислить и количественные оценки величины портфеля, даваемые каждым из наших правил,
Адаптация функций принадлежности


Адаптация функций принадлежности


Адаптация функций принадлежности



Оценка величины портфеля получается усреднением вышеприведенных оценок по уровням активации каждого из правил
Адаптация функций принадлежности


Ниже на рисунке приведена архитектура нейронной сети, эквивалентной описанной выше нечеткой системе ( рисунок 11.4).
Адаптация функций принадлежности

Рис. 11.4.  Нейронная сеть (нечеткий персептрон), входами которой являются лингвистические переменные, выходом - четкое значение величины портфеля.


Скрытые слои в нечетком персептроне называются слоями правил

Значения выходов в узлах первого слоя отражают степень соответствия входных значений лингвистическим переменным, связанными с этими узлами. Элементы второго слоя вычисляют значения уровней активации соответствующих нечетких правил. Выходные значения нейронов третьего слоя соответствуют нормированным значениям этих уровней активации
Адаптация функций принадлежности


Выходные значения нейронов четвертого слоя вычисляются как произведения нормированных значений уровней активации правил на значения величины портфеля, соответствующего данной их (ненормированной)активации.

Адаптация функций принадлежности


Наконец, единственный выходной нейрон (слой 5) просто суммирует воздействия нейронов предыдущего слоя.

Если мы имеем набор обучающих пар, содержащих точные значения курсов обмена
Адаптация функций принадлежности
и точные значения величины портфеля:
Адаптация функций принадлежности
, то определив ошибку сети для k-й обучающей пары обычным образом, как
Адаптация функций принадлежности
(
Адаптация функций принадлежности
- реальное значение состояния выходного нейрона), можно использовать метод градиентного спуска для коррекции значений параметров, управляющих формой функции принадлежности лингвистической переменной "величина портфеля":
Адаптация функций принадлежности


Адаптация функций принадлежности


Адаптация функций принадлежности


Адаптация функций принадлежности



Аналогичным образом выводятся уравнения коррекции для параметров, управляющих формой функций принадлежности нечетких понятий слабый
Адаптация функций принадлежности
и сильный
Адаптация функций принадлежности
курс доллара:
Адаптация функций принадлежности
. Легко заметить, что особенностью описанного нами совместного использования нейросетевого и нечеткого подходов заключается в том, что адаптируются не величины связей между нейронами, а формы нелинейного преобразования, осуществляемого нейронами (формы функции принадлежности). С нейрокомпьютерной точки зрения достоинства нечетких моделей как раз и связано с нелинейностью функции принадлежности. Фиксирование и изначальное задание архитектуры сети позволяет интерпретировать ее решения. И что особенно важно, описанный подход по сути позволяет инкорпорировать априорные знания в структуру нейронной сети.


Содержание раздела